図形問題のセオリー

今回は少しマニアックな話をします。

数学は大きく代数と幾何に分かれます。

代数とは計算問題や方程式、関数などです。

幾何には図形問題や確率などが含まれます。

中学生にしろ高校生にしろ、幾何を苦手とする生徒は多いものです。

確かに解き方が比較的明確な代数に対して、幾何の、とりわけ図形問題にはひらめきを求められることがあります。

ただし、図形問題にも「解き方=セオリー」があるのです。

それを知らずに問題に臨んでも、堂々巡りに陥って正解にいたりません。

では、図形問題のセオリーとはどういうものなのでしょうか?

高校入試の相似の問題を例に解説しましょう。

都立青山高校の平成27年度入試問題です。

H27青山数学

まず、相似になる条件を思い出しましょう。

「2組の角がそれぞれ等しい」

「2組の辺の比と、その間の角が等しい」

「3組の辺の比が等しい」

この三つです。

上に掲げた問題文には辺の長さに関する記述が一切ありません。

よって、「等しい2組の等しい角を見つけよう」と方針を決めます。

ここで「高校入試では問題文に書かれている条件は絶対に使う」ことを忘れないでください。

上記の問題では「AB=AC」「∠AFC=90度」の二つです。

円周角の定理より、∠CAD=∠CBDはすぐに見つかります。

∠CAD=∠CBD=a度としましょう。

次に「∠ADC=∠BGC」を証明するか、「∠ACD=∠BCG」を証明するかですが、図を見る限り前者は無理そうです。

そこで、どうしたら「∠ACD=∠BCG」を証明できるか考えます。

ます、直径に対する円周角ですから∠BAD=90度です。

よって∠BAC=(90-a)度となります。

ここで問題文の条件を使います。

△AFCは「∠AFC=90度」の直角三角形ですから、∠ACF=(90-∠BAC)度=(90-(90-a))度、すなわち「a度」となります。

さらに問題文の条件に着目します。

「AB=AC」なので△ABCは二等辺三角形です。

二等辺三角形の底角は等しいので∠ABC=∠ACBとなります。

∠ABD=∠ABC-a度、∠FCB=∠ACB-a度ですから、∠ABD=∠FCD

です。

最後に円周角の定理より∠ABD=∠ACD、よって∠FCB=∠ACDとなり、2組の角がそれぞれ等しいことが証明できました。

解き方のセオリーは、参考書などにはあまり詳しく載っていません。

集団指導の塾では教えてくれませが、生徒一人ひとりのレベルに合わせた教え方はしてくれません。

個別指導の塾だからこそ、きめ細かく指導できるのです。

一度教室にいらしてくだされば、もっと細かいお話ができます。

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